Kalkulus Proposisi

(gambar diambil dari http://ririsatria40.files.wordpress.com/2011/02/moivre.jpg)

Sering terdengar pernyataan bahwa matematika diajarkan untuk mendidik murid berpikir secara praktis, teratur, murni, tajam dan logis. Apakah sebenarnya berpikir secara logis itu ?

Suatu ucapan benar atau salah disebut sebagai suatu pernyataan atau kalimat. Setiap pernyataan adalah suatu ucapan, tetapi tidak setiap ucapan merupakan suatu pernyataan. 

Contoh,

a. Marilah ke sini.

b. Siapakah namamu.

c. Betapa indahnya.

Semuanya adalah ucapan – ucapan, tetapi bukan merupakan suatu pernyataan, karena ucapan – ucapan tersebut tidak dapat dinyatakan sebagai benar atau salah. 

Kalimat yang menerangkan sesuatu atau menyatakan sesuatu yang dapat dianggap sebagai pernyataan, misalnya,

1. Paris adalah ibukota Perancis.

2. Dua adalah suatu bilangan asli.

Pernyataan (1) dan (2) di atas dinyatakan sebagai benar, karena menerangkan atau menyatakan sesuatu hal yang benar.

Dalam logika, kata – kata seperti “dan”, “atau”, “tidak”, “jika … maka”, dan lain – lain memegang peranan yang sangat penting. Kata – kata tersebut merangkaikan buah pikiran, relasi – relasi dan cara yang dilakukan, yang disebut sebagai struktur logis dari suatu pernyataan. 

Contoh, 

Pernyataan – pernyataan berikut memiliki struktur logis yang sama,

a. Setiap orang adalah laki – laki atau perempuan.

b. Setiap zat adalah organis atau anorganis.

c. Setiap penduduk adalah warga negara atau warga asing.

Pernyataan di atas bisa digambarkan dengan skema sebagai berikut,

“Setiap … (i) … adalah … (ii) … atau … (iii) …”,

dengan (i), (ii) dan (iii) merupakan kata benda atau kata nama.

Kebenaran dari pernyataan di atas tergantung dari struktur logisnya dan tidak tergantung pada isi pernyataan. Pernyataan yang demikian dikatakan benar secara logis atau selalu benar. Contoh lain,

“Jika setiap manusia adalah fana dan Ali adalah manusia maka Ali adalah fana.”.

Struktur logisnya,

“Jika setiap … (i) … adalah … (ii) … dan … (iii) … adalah … (iv) … maka … (v) … adalah … (vi) …”.

Jika (i) dan (iv) diisi dengan kata benda yang sama, (ii) dan (vi) dengan kata sifat yang sama, dan (iii) dan (v) dengan kata nama yang sama, maka selalu diperoleh suatu pernyataan yang benar. Tetapi kalau ditinjau pernyataan yang lain,

“Suhu di dalam kamar ini adalah 40 derajat Celcius.”

Kebenaran dari pernyataan ini harus didasarkan oleh fakta, jadi pernyataan ini tidaklah selalu benar.

Dalam logika, kebenaran dari suatu pernyataan didasarkan pada kebenaran logisnya. Pernyataan “Besok pagi matahari akan terbit” bukan merupakan suatu kebenaran logis, karena mungkin saja besok pagi hujan atau mendung sehingga matahari tidak terbit. Pernyataan “Jika harga karcis per lembar Rp. 30.000,- , maka harga 5 lembar karcis adalah Rp. 150.000,-“ merupakan suatu keharusan logis. Kebenaran pernyataan ini terkandung dalam pernyataan itu sendiri, dan tidak tergantung pada suatu fakta. Inilah kebenaran dalam matematika, yaitu kebenaran yang relatif.

Dua pernyataan dikatakan logis ekivalen jika kedua pernyataan ini sesuai dalam kebenaran dan kesalahannya dan ini semata – mata didasarkan pada struktur logisnya. Misalnya, “Tidak ada sesuatu zat yang tidak organis dan tidak pula anorganis”. Pernyataan ini sama dengan pernyataan “Setiap zat adalah organis atau anorganis”.

Bukanlah suatu pekerjaan yang mudah untuk menentukan apakah suatu pernyataan logis atau benar ataukah dua pernyataan logis ekivalen, demikian pula apakah suatu pernyataan membawakan suatu pernyataan lain atau tidak. Studi dari hubungan logika matematika dengan pernyataan – pernyataan yang dinyatakan dalam hubungan kalimat ini dinamakan kalkulus proposisi (propositional calculus).

Kalkulus proposisi dapat digunakan untuk menentukan apakah sebuah kalimat adalah valid atau kontradiktif, dan apakah dua buah kalimat merupakan kalimat – kalimat yang ekivalen satu dengan lainnya.